Matemaniacos
Integrales triples
Cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas
Aplicación de las integrales triples
By: Victor Molina
Ampliación: Volumen y Masa
Una integral triple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de tres de una variables reales.
Por Ejemplo: F(x,y,z).
Reconocimiento:
Las Integrales triples se reconocen principalmente por su simbología Tambien se conoce como el estudio bajo la curva que pertenece al dominio
¿dxdydz?
El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función con respecto a cambios en la variable independiente.
Hay que tener cuenta de que por cada símbolo de integral debe existir un diferencial con respecto a una variable que se deba utilizar, es importante en la aplicación de las integrales triples sabes muy bien la posición de los diferenciales es completamente diferente trabajarlos al azar.
Ejemplo:
Dese cuenta que la posición de los Diferenciales son diferente así que el procedimiento y el resultado puede cambiar para eso debe pasar por un proceso llamado Iteración ya que cada diferencial va con un intervalo de estudio o Limites de Integración que esta dentro del dominio de la función continua.
Límites de Integración
Para definir los límites de integración tenemos que ya tener en cuenta que ya es una Integral Definida en un intervalo dado, ese caso se utiliza el teorema fundamental del cálculo para resolver este tipo de integral.
Donde (a): Límite Inferior y (b): Límite superior
En la integración definida se obtiene un resultado numérico, que se obtiene al integrar la expresión dada, evaluar los límites y hacer la sumatoria de los resultados obtenidos luego de la evaluación.
A diferencia de la integración normal este tipo de integración múltiple debe resolverse cada una de forma independiente de adentro hacia fuera integrando de acuerdo a su diferencial correspondiente.
Se toma primero cabe destacar que solo se integra en función de (x) y se toma el resto de las variable como una constante (K)
Luego hasta llegar al último variable (z)
By: Javier Meza
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La teoría de la integración se extiende a más dimensiones pero, como ya hemos mencionado, pocas veces aparecen integrales con más de 3 variables en las aplicaciones. El caso de las integrales triples tiene cierta relevancia geométrica (aparte de su interés físico). Para un cuerpo V en el espacio se tiene
(3)
Del lado físico, si ρ = ρ(x, y, z) es la densidad de un cuerpo V en cada uno de sus puntos, entonces
(4)
La base de esta fórmula es que en el límite la densidad es masa entre volumen. Es decir, en un cubito infinitesimal (realmente un ortoedro) de lados dx, dy, dz, se tiene dM = ρdxdydz. Integrar es como sumar todos esos trocitos infinitesimales y por tanto la masa viene dada por (4).
La fórmula se extiende al caso de más variables, en particular a las integrales triples. Las complicaciones de cálculo crecen bastante y sólo mencionaremos aquí que cuando el cambio es a coordenadas cilíndricas el determinante jacobiano es r y cuando es a coordenadas esféricas es r2 sen β. Es decir, se tienen las siguientes fórmulas:
(5)
(que no es más que un cambio a polares en las dos primeras variables) y
(6)
El primer cambio es útil para funciones que dependen de x^2 + y^2 el segundo para lasque dependen de x^2+ y^2+z^2 En ambos casos es muy importante que sepamos describir fácilmente en otro caso elcambio no será útil.
Ejemplo. El plano 2x + 2y + z = 1 corta al primer octante (la región x, y, z ≥ 0) dando lugar a una pirámide triangular P . Vamos a calcular el volumen de P usando integrales por medio de (3). La z variará entre el “suelo” z = 0 y el plano que es z = 1 − 2x − 2y. Entonces, fijadas x e y en la base B de la pirámide, 0 ≤ z ≤ 1 − 2x− 2y y podemos escribir
La base está limitada por los ejes x e y y por el corte del plano con z = 0, esto es, la recta 2x + 2y = 1. Para cada x se tiene por tanto 0 ≤ y ≤ (1 − 2x)/2 debemos pedir 0 ≤ x ≤ 1/2. Con un dibujo estamos poniendo los límites en una integral doble correspondientes a un triángulo como habíamos visto antes, si uno lo prefiere ver analíticamente, x ≤ 1/2 viene forzado por 0 ≤ (1 − 2x)/2. Entonces el volumen es:
La última integral es elemental, se puede desarrollar e integrar o, más fácilmente, compensar la derivada:
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