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Se llama elipse, al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya de elipse suma distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos

Ecuación:

Considerando los focos sobre el eje X y la distancia constante la denotaremos por 2a, a > 0, sea P(x, y) un punto cualquiera que pertenece ha dicho lugar geométrico y sean F1 (-C, 0) y F2 (C, 0), C > 0, las coordenadas de los focos, entonces de la definición se tiene:

De donde se obtiene la ecuación:

(1)

Nótese que en el triángulo F1PF2 se tiene que:

PF1 + PF2 > F1F2 ---> a > c

Ahora de (1) resulta

Y de aquí:

Intersecciones con los ejes coordenados:

Intersección con el eje son las coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es 2a.

Intersección con el eje son las coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es 2b.

Simetrías:

Al sustituir Xpor -X, la ecuación (2) no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje Y, análogamente si se sustituye Y por -Y, es decir la curva es simétrica con el eje X, lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez X por -X e Y por -Y, la ecuación (2) no varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría.

Dominio:

Despejando Y en términos de X, se tiene lo que nos conduce a:

Recorrido:

Despejando X en el término de Y, se tiene lo que nos conduce a:

Concavidad:

Nótese también que: si > nos indica que la curva es cóncava hacia hacia abajo

Elementos de una elipse:

1.- Sea F1 y F2 los focos de la elipse, la recta que pasa por los focos se suele llamar eje focal, donde F1(-c,0) y F2 (c,-),c>0

2.- El eje focal corta a la curva en dos puntos V1 y B2 llamados vértices, cuya coordenadas son: V1(-a,0) y V2 (a,0).

3.- El segmento del eje focal comprendido entre los vértices, V1V2, se llama eje mayor cuya longitud es 2a. El valor de a se llama semieje mayor.

4.- El punto medio C del segmento que une los focos, se llamacentro de simetría de la curva.

5.- La recta que pasa por C y es perpendicular al eje focal se llama eje normal.

6.- El segmento del eje normal comprendido entre los puntos,B1B2 se llama eje menor cuya longitud es 2b El valor de b se llama semieje menor.

7.- Cualquier recta que pasa por el centro de simetría C, se llama diámetro de la elipse.

8.- El segmento que pasa por un foco y corta a la elipse en los puntos A1 y A2 se llama cuerda focal.

9.- Todo segmento comprendido entre un foco entre un foco y un punto de la elipse se llama radio focal.

10.- Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y la longitud es igual a:

11.- Por convenio, tomaremos siempre , los vértices de la elipse yacen sobre el eje X, y si fuera , los vertices se encuentran sobre el eje Y.

12.- Se define por excentricidad de la elipse, al cociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud del semieje mayor, es decir:

Nota: Observe que si e ---> 1 la elipse tiende a una circunferencia y si e ---> 1 la elipse tiende a un trazo.

Otra Forma para la Ecuación de una Elipse:

Sea el punto (h,k) el centro de simetría de una elipse, por lo tanto las ecuaciones de translación paralela de los ejes coordenados son: x= x’ +h e y=y’ +k y la ecuación de la elipse con respecto a los nuevos ejes X’Y’ cuyo origen es el punto (h,k), es:

Observe que los vertices son: V1(h-a,k) y V2(h,a+k) y los focos F1(h-c,k) e F2(h+c,k)

By: Luis Arraiz

Graficas en Dos Dimensiones

Hipérbola

Se llama hipérbole , al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos del mismo plano es constante. Los puntos fijos se acostumbran a llamar focos.

Ecuación:

Considerando los focos sobre el eje X y la distancia constante la denotaremos por 2a, a > 0, sea P(x, y) un punto cualquiera que pertenece ha dicho lugar geométrico y sean F1(-c,0) y F2(c,0), c > 0 las coordenadas de los focos, entonces de la definición se tiene.

De donde se obtiene la ecuación: (c*x)^2+a^4=(a*x)^2+(a*c)^2+(a*y)^2 (1)

Nótese que en el triángulo F1PF2 se tiene que:

|PF1 - PF2| >F1F2 ----> c > a

Ahora de (1) resulta

y de aquí.

Intersecciones con los ejes coordenados:

Intersección con el eje X, x = ±a donde V1(-a,0) y V2(a,0) son las coordenadas de los vértices.

Intersección con el eje Y, No tiene

Simetrías:

Al sustituir x por -x en la ecuación (2) no varía lo que indica que la curva tiene simetría con respecto al eje Y, análogamente si se sustituye y por -y, es decir la curva es simétrica con el eje X, lo mismo sucede cuando se sustituyen a la vez x por -x e y por -y, la ecuación (2) no varía, luego tiene simetría con el origen de coordenadas, de aquí que el origen recibe el nombre de centro de simetría.

Dominio:

Despejando Y en términos de X, se tiene , lo que nos conduce a:

Recorrido:

Despejando X en el término de Y, se tiene , lo que nos dice que:

Concavidad:

Nótese también que: si > lo que nos indica que la curva es cóncava hacia hacia abajo

Elementos de una hipérbole:

1.- Sea F1 y F2 los focos de la hipérbole , la recta que pasa por los focos se suele llamar eje real o trasverso, donde F1(-c,0) y F2(c,0), c >0

2.- El eje que corta a la curva en dos puntos V1 y V2 llamados vértices, cuya coordenadas son: V1(-a,0) y V2(a,0).

3.- El valor de a se llama semieje real. El valor de b se conoce porsemieje conjugado o imaginario.

4.- El punto medio C del segmento que une los focos, se llamacentro de simetría de la curva.

5.- La recta que pasa por C y es perpendicular al eje real se llama eje imaginario.

6.- Cualquier recta que pasa por el centro de simetría C, se llama diámetro de la hipérbola..

7.- El segmento que pasa por un foco y corta a la hipérbola en los puntos A1 y A2 se llama cuerda focal.

8.- Todo segmento comprendido entre un foco y un punto de la hipérbola se llama radio focal.

9.- Una cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto, y su longitud es igual a

10.- los vértices de la hipérbole yacen sobre el eje X, y si fuera , los vértices se encuentran sobre el eje Y.

11.- Se define por excentricidad de la hipérbole, al cuociente entre la distancia desde un foco al centro de simetría y la longitud y la longitud del semieje mayor, es decir:

12.- Las rectas , se llaman asíntotas de la hipérbola , en tanto que , son las asíntotas de la hipérbola

Otra forma de la ecuación de una hipérbola

Sea el punto (h,k) el centro de simetría de la hipérbola, por lo tanto las ecuaciones de translación paralela de los ejes coordenados son:

y la ecuación de la elipse con respecto a los nuevos ejes X’Y’ cuyo origen es el punto (h,k), es:

Observe que los vértices son: V1(h-a,k) y V2(h,a+k) y los focos F1(h-c,k) y F2(h+c,k)

By: Luis Arraiz

Parábola

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

Características geométricas:

Vértice: Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.

Foco: Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia

que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.

Lado recto: La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.

Directriz: Línea recta donde la dist (P, F)= dist (P, D); PF PD = . Ver figura 1.

Eje focal: Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.

Parámetro p: Distancia del foco al vértice

Semejanza de todas las parábolas

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.

Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz

Tangentes a la parábola

Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:

Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.

Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P

Parábola con vértice en el origen

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax^2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.

NOTA: Recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde está el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.

Ecuación General de la Parabola

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

Hacemos Operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k) la fórmula es:

Ejemplo:

Una parábola tiene su foco en el punto F(5,0) y su vértice en V(1,0). ¿Cuál es su ecuación?

Solución:

El valor de

El punto (h, k) corresponde a (1, 0)

La ecuación es:

Videos Explicativos:

By: Alfonso Villegas

Recta

La recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Caracteristicas de la recta

La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
En geometría analítica, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Semirrecta

Se le llama semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.

Semirrecta opuesta

La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.

Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.
Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.

Ecuacion de la recta

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

Pendiente y ordenada al origen

Dada una recta mediante un punto, , y una pendiente m :

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

donde m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplos

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto A=(-8,-8) y que tiene una pendiente de m=2 es:

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

b) La ecuación de la recta que pasa por el punto A=(2,-4) y que tiene una pendiente de m=-1/3 :

x + 3y + 10 = 0

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, :

y - b = m ( x - o )

y - b = mx

y = mx + b

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b .

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)

Recta que corta el eje ordenado en by y la abscisa en a .

Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta esta dada por la expresión con y , donde -A/B representa la pendiente de la recta y -C/B señala la ordenada en el origen, datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano.

Ecuación normal de la recta (primera forma)

La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.

Ecuación normal de la recta (segunda forma)

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Rectas que pasan por un punto

Rectas que pasan por el punto: (2,4).

Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto se usa la ecuación

donde m toma cualquier valor real.

Recta que pasa por dos puntos

Si pasa por dos puntos y , la ecuación de la recta puede expresarse como:

Rectas notables

Rectas perpendiculares.

La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general (constante).

La ecuación de una recta horizontal responde a la ecuación general (constante).

Una recta trigonoidal que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición b = 0, siendo su ecuación: .

Recta secante
Recta tangente

Dos rectas cualesquiera:

serán paralelas si y solo si . Además, serán coincidentes cuando:

serán perpendiculares si y solo si , es decir:

Rectas en el plano como espacio vectorial y afín

Mediante dos puntos del plano afín

Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta es decir toda la recta mediante la ecuación:

donde puede tomar cualquier valor.

Mediante un punto y un vector

Dado un punto y un vector en el plano, P y , queda totalmente definida una recta mediante la ecuación:

donde puede tomar cualquier valor.

Rectas como producto escalar

Toda recta ya sea de forma implícita, explícita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:

es decir, renombrando las constantes:

Si por tanto el vector (a,b) es perpendicular a la recta ax + by = 0 y a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.

Ecuación de la recta en el espacio

Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones

Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:

Esta ecuación equivale a la intersección de dos planos en el espacio.

Recta determinada mediante vectores

Recta en el espacio usando un punto, , y un vector, :

Al vector se le llama vector director.

Posiciones relativas entre rectas

Dos rectas serán paralelas si tiene vectores directores paralelos.
Dos rectas serán coincidentes si comparten al menos dos puntos diferentes.
Dos rectas se intersecan si no son paralelas y tienen un punto en común.
Dos rectas serán coplanarias si están contenidas en algún plano.
Dos rectas son coplanarias si y solo si o bien son coincidentes o bien se intersecan o bien son paralelas.

By: Alfonzo Villegas

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Elipse.

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Recta